二分图最大权完美匹配

问题

给定一个二分图，左部有 \(n\) 个点，右部有 \(m\) 个点，边 \((u_i, v_j)\) 的边权为 \(A_{i,j}\)。求该二分图的最大权完美匹配。

转化

问题可以写成线性规划的形式，设 \(f_{i, j}\) 表示匹配中是否有边 \((u_i, v_j)\)，求

转为对偶问题：

在这个问题中，\(hu\) 和 \(hv\) 又称作“顶标”。

分析

根据互补松弛定理，如果 \(f_{i,j}=1\)，则有 \(hu_i+hv_j=A_{i,j}\)。这给出了判定一组顶标是否最优的方式：

一组顶标 \(hu, hv\) 最优，当且仅当子图 \(H = \left\{(i, j) \mid hu_i + hv_j = A_{i,j}\right\}\) 存在完美匹配。

做法

首先给出一个满足 \(hu_i+hv_j \ge A_{i,j}\) 的顶标（不一定最优）（例如，令 \(hu_i = hv_j = +\infty\)），并维护对应的匹配。然后尝试在不破坏条件的情况下修改顶标，使得匹配可以被增广。

具体而言，遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)，每次尝试将 \(i\) 加入到匹配中（类似于求二分图最大匹配的匈牙利算法）。我们可以求出以 \(i\) 为根的交错树，如果已经存在增广路，那么直接增广便是，否则我们需要修改顶标来使交错树生长。设交错树中的左部点集为 \(S\)，右部点集为 \(T\)，那么必有 \(|S| = |T| + 1\)（交错树的性质）。令 \(\Delta = \min\{hu_i + hv_j - A_{i,j} \mid i \in S \land j \notin T\}\)，那么将 \(S\) 中的点顶标减去 \(\Delta\)，将 \(T\) 中的点顶标加上 \(\Delta\)，可以验证得到的新的顶标依然满足 \(hu_i+hv_j \ge A_{i,j}\) 的限制，且原图中的匹配一定包含于对应的新图 \(H'\) 中，此外，新图中至少增加了一条边，这使得我们的交错树可以继续生长，直到找到增广路为止。

代码（洛谷 P6577）

#define DEBUG 0
#include <cstdio>
#include <cassert>
#include <vector>
template <class T> using Arr = std::vector<T>;
#define int long long
const int INF = 1e8;

signed main() {
	int n, m;
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	struct edge_t {
		int v, w;
	};
	Arr<Arr<edge_t>> e(2 * n);
	for (int i = 0; i < m; ++i) {
		int l, r, w;
		scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &w);
		--l; r += n - 1;
		e[l].push_back({r, w});
		e[r].push_back({l, w});
	}

	Arr<int> match(2 * n, -1), h(2 * n, INF);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		Arr<int> vis(2 * n, false);    // 是否在当前求出的交错树中，即 $S \cup T$ 
		Arr<int> upd(2 * n, n * INF);  // 最小的 Δ 值                             
		Arr<int> from(2 * n, -1);      // 维护增广路所用，即交错树上的父亲        
		int p = i;
		vis[p] = true;
		int d, dp;  // Δ 及其对应的 j
		while (true) {
			d = n * INF, dp = -1;

			// 求出 Δ
			for (auto [to, w] : e[p])
				if (!vis[to]) {
					int delta = h[p] + h[to] - w;
					if (delta < upd[to])
						upd[to] = delta, from[to] = p;
				}
			for (int j = n; j < 2 * n; ++j)
				if (!vis[j] && upd[j] < d && from[j] != -1)
					d = upd[j], dp = j;
			assert(~dp);


			// 修改顶标
			h[i] -= d;
			for (int j = n; j < 2 * n; ++j)
				if (vis[j])
					h[j] += d, h[match[j]] -= d;
				else
					upd[j] -= d;

			// 找到增广路
			if (match[dp] == -1)
				break;

			// 生长交错树
			vis[dp] = true;
			vis[match[dp]] = true;
			p = match[dp];
		}

		// 增广
		while (~dp) {
			match[dp] = from[dp];
			int tmp = match[from[dp]];
			match[from[dp]] = dp;
			dp = tmp;
		}
	}

	long long ans = 0;
	for (int i = 0; i < 2 * n; ++i)
		ans += h[i];
	printf("%lld\n", ans);
	for (int i = n; i < 2 * n; ++i)
		printf("%lld ", match[i] + 1);
	puts("");
	return 0;
}

参考资料

• https://cp-algorithms.com/graph/hungarian-algorithm.html
• https://codeforces.com/blog/entry/128703